Szeregi (matematyka) Zbieżność (matematyka)

Zbieżność szeregów harmonicznego i geometrycznego

Definicja 1: Szereg harmoniczny rzędu \( \alpha >1 \)

Szeregiem harmonicznym rzędu \( \alpha \) nazywamy szereg postaci \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \), gdzie \( \alpha \in \mathbb{R} \).

Twierdzenie 1: O zbieżności szeregu harmonicznego

Szereg harmoniczny rzędu \( \alpha \) jest zbieżny dla \( \alpha >1 \) i rozbieżny dla \( \alpha \leqslant 1 \).

Definicja 2: Szereg geometryczny

Szeregiem geometrycznym o ilorazie \( q \in \mathbb{R} \) nazywamy szereg postaci \( \sum_{n=1}^{\infty} aq^{n-1} \), gdzie \( a \in \mathbb{R} \).

Uwaga 1:

Zauważamy, że szereg geometryczny \( \sum_{n=1}^{\infty} aq^{n-1} \) można zapisać w sposób równoważny jako \( \sum_{n=0}^{\infty} aq^n \).

Twierdzenie 2: O zbieżności szeregu geometrycznego

Jeżeli iloraz \( q \) szeregu geometrycznego spełnia warunek \( |q|<1 \), to szereg geometryczny \( \sum_{n=1}^{\infty} aq^{n-1} \) jest zbieżny do sumy \( S= \frac{a}{1-q} \), a dla \( |q| \geqslant 1 \) \( (a =\mathrel{\llap{/\,}} 0) \) szereg geometryczny jest rozbieżny.

Przykład 1:

Zbadaj zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \root 3 \of n}{2 \sqrt{n^5}} \).

Rozwiązanie:

Zauważamy, że badany szereg ma postać \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^{\frac{5}{2}-\frac{4}{3}}}= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^{\frac{7}{6}}} \). Szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{7}{6}}} \) jest szeregiem harmonicznym rzędu \( \frac{7}{6} \), czyli jest szeregiem zbieżnym. Zatem szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \root 3 \of n}{2 \sqrt{n^5}} \) jest szeregiem zbieżnym.

Przykład 2:

Zbadaj zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4^n} \).

Rozwiązanie:

Badany szereg jest naprzemienny o wyrazie \( a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{4^n} =-( \frac{-1}{4})^n \).
Zauważamy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{-1}{4})^n \) jest szeregiem geometrycznym o ilorazie \( q=-\frac{1}{4} \), czyli jest szeregiem zbieżnym do sumy równej \( - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1-(-\frac{1}{4})}=- \frac{1}{5} \), zatem szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1) \cdot (\frac{-1}{4} )^n \) jest zbieżny do sumy równej \( \frac{1}{5} \).

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka